Загадка пра зніклы квадрат ламае розум. Ці здолееце вы даць правільны адказ?
На відэа паперкі проста перасоўваюць — але адкуль тады бярэцца лішні квадрат? Адказ даволі просты, але ён вас здзівіць.
Задача пра трохвугольнік. Відэа: Відэа: popularmechanics.com
На першым фота бачны прастакутны трохкутнік, які складаецца з чатырох фігур. Пасля іх перамяшчаюць, упісваючы ў іншы трохкутнік — але застаецца дадатковы квадрат роўна ўсярэдзіне.
Што здарылася? Гэта нейкі фокус або адна з формаў змянілася? Мантажу няма, але лішняя фігура з’яўляецца.
Такія галаваломкі даюць магчымасць навучыцца разважаць і развіваць навыкі крытычнага мыслення. Бо матэматыка — гэта не адпрацоўка навыкаў і зубрэнне правілаў, але і спосаб мыслення. Вось якія пытанні варта сабе задаць, калі думаеце над галаваломкай.
Па-першае, чаму мы ведаем, што нешта не так?
Адказ можа падавацца відавочным, але гэта важна. У вас ёсць чатыры розныя фігуры, і ў першай пазіцыі вы візуальна прыкладаеце іх адну да адной, каб атрымаць трохкутнік. У другой пазіцыі вы візуальна складаеце іх па плошчы і атрымліваеце тое ж плюс яшчэ адзін квадрат. Мы ўважліва назіралі за формамі і ведаем, што ні адна з іх не змянілася ў памерах. Мы ведаем, што плошча захоўваецца, калі мы перамяшчаем фігуры. Быццам бы няма ніякага спосабу атрымаць гэтую дадатковую квадратную адзінку.
Грунтуючыся на гэтай упэўненасці, мы пасля пытаемся: ці было нешта такое, што мы дапускаем «на аўтамаце», але чаго магло б і не быць?
З часам і настойлівасцю вы зможаце самастойна знайсці ключ да вырашэння гэтай задачы, варта паспрабаваць!
Будзьце пільныя, ніжэй — рашэнне галаваломкі!
Мы ведаем, што ўсе чатыры фігуры аднолькавыя да і пасля, але мы выказалі здагадку, што вялікі прастакутны трохкутнік застаўся таго ж памеру і формы. Гэта здагадка была нашай памылкай! Аказваецца, што трохкутнік «да» мае не тую ж форму, што і трохкутнік «пасля». Насамрэч, ніводны з іх наогул не трохкутнік!
Як для «да» і «пасля» меркаваная гіпатэнуза (самы доўгі бок) прастакутнага трохкутніка не з'яўляецца прамой лініяй. Каб зразумець гэта, нам патрэбна геаметрычная канцэпцыя, званая падобнасцю.
Калі дзве фігуры падобныя, то вуглы вымярэння аднолькавыя, а даўжыні бакоў прапарцыйныя. Вось прыклад. Ніжэй мы маем сапраўдны прастакутны трохкутнік з даўжынямі бакоў 20, 48 і 52. Вы можаце стварыць процьму прастакутных трохкутнікаў, падобных да яго. Яны паказаныя ўнутры пункцірнымі лініямі.
Такіх трохкутнікаў можна ўкласці адзін у адзін вельмі шмат.
Падобныя трохкутнікі з памерамі катэтаў 48:20, 24:10 і 12:5. Суадносіны бакоў, такім чынам, заўжды 2.4:1
Паглядзіце на адносіны «доўгага боку» кожнага з трохкутнікаў да «кароткага боку» (гэтыя бакі для прастакутных трохкутнікаў называюцца катэтамі). Яны заўсёды аднолькавыя. 48:20 для самага вялікага трохкутніка, 24:10 для сярэдняга і 12:5 для самага маленькага. Кожнае з гэтых адносін эквівалентнае 2.4:1. Не забывайцеся, гэта таксама азначае, што яны маюць роўныя вуглы! Цяпер паглядзіце яшчэ раз на трохкутнікі ў нашай галаваломцы. Даўжыня бакоў указаная для кожнага з іх.
Трохкутнікі з памерамі бакоў 13:5 (2.6:1), 8:3 (2.667:1) і 5:2 (2.5:1). Адносіны бакоў кожнага разу розныя.
Адносіны бакоў трохкутнікаў не аднолькавыя. Гэта азначае, што трохкутнікі не падобныя, што таксама значыць, што іх вуглы не супадаюць. Мы прыходзім да высновы, што ўкласці адзін у адзін, як гэта зроблена напачатку галаваломкі, немагчыма. У чым падвох?
Наш «трохкутнік» да і пасля перастановак
Насамрэч, вялікі «трохкутнік», які складаецца з меншых частак, не мае прамой лініі да гіпатэнузы. То-бок, ён ніякі нават не трохкутнік. У першай пазіцыі падробленая гіпатэнуза адхіляецца ад сапраўднага трохкутніка. У другім выпадку няроўныя вуглы прыводзяць да таго, што фальшывая гіпатэнуза выгінаецца за межы гіпатэнузы сапраўднага трохкутніка.
Вось схематычны малюнак трохкутнікаў «да» і «пасля», каб паказаць выгін. Пункцірная лінія паказвае, дзе будзе знаходзіцца праўдзівы прастакутны трохкутнік. Вядома, адрозненні значна меншыя і таму нас лёгка падмануць, прымушаючы паверыць, што мы бачым праўдзівы трохкутнік з прамой гіпатэнузай.
Першы і другі выпадак насамрэч — кожнага разу ілюзіяй з'яўляецца тое, што гэта трохкутнік, а мы глядзім на відэа ці мантаж
Гэты выгін адказвае на пытанне, як дадатковы квадрат з'явіўся ў сярэдзіне другога падробленага трохкутніка. Выгін усярэдзіну ад першага трохкутніка і выгін вонкі ад другога прыкладна складаюць адну квадратную адзінку. Уявіце, што вы разразаеце квадрат на маленькія кавалачкі, якія могуць заняць месца, якога не хапае на першым малюнку, плюс тое, што дадае другі малюнак. Так мы атрымліваем дадатковую плошчу ў адну квадратную адзінку.
Урэшце, гэтая галаваломка заснаваная на вельмі тонкай змене, але, што больш важна, на неправеранай здагадцы, якую мы робім падчас прагляду відэа. Рашэнне такіх матэматычных галаваломак абвастрае наша матэматычнае мысленне. Яна нагадвае нам, што трэба крытыкаваць усе без выключэння здагадкі і дапушчэнні. Потым мы можам лагічна перайсці да працэсу пытанняў і адказаў, заснаваных на гэтых здагадках.
Выкарыстоўвайце гэтыя падыходы пры разглядзе любога матэматычнага аргумента. Неўзабаве вы заўважыце, што матэматычныя памылкі з'яўляюцца ў многіх месцах.
